| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22, 20) или
(2, 22). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится
не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
т.е. первым получивший такую пару, в которой сумма её чисел стала
не менее 62. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (20, 21) и заданной сумме 62 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары
и получить пару (41, 21), сумма элементов которой равна 62. Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (15, S). Укажите минимальное значение S, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом. Задание 2. Для начальной позиции (12, 14) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию. Задание 3. Для начальной позиции (6, 7) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание. |