Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22, 20) или (2, 22).
Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 36. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую пару, в которой сумма её чисел стала не менее 36.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (15, 10) и заданной сумме 36 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары и получить пару (15, 25), сумма элементов которой не меньше 36.
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (9, S). Укажите минимальное значение S, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции (5, 11) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции (3, 6) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).
В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (7, 2), то после его хода будет позиция (7, 9) или (9, 2).
Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 26. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую пару, в которой сумма её чисел стала не менее 26.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (2, 13) и заданной сумме 26 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары и получить пару (15, 13), сумма элементов которой не менее 26.
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (9, S). Укажите максимальное значение S, такое, что Петя не может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции (5, 6) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции (2, 3) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).
В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.
Сколько существует десятичных четырёхзначных чисел, делящихся на 5, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?
Исполнитель Вычислитель преобразует число, записанное на экране.
У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1.Прибавить 1
2.Прибавить 2
3.Умножить на 3
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает его на 3.
Программа для Вычислителя – это последовательность команд.
Сколько существует таких программ, которые преобразуют исходное число 1 в число 13 и при этом траектория вычислений программы содержит число 9?
Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 24, 26.
В таблице содержатся сведения о дорогах между населёнными пунктами (звёздочка означает, что дорога между соответствующими городами есть). На рисунке справа та же схема дорог изображена в виде графа.
Номер пункта
1
2
3
4
5
6
7
8
Номер пункта
1
*
*
*
2
*
*
*
3
*
*
*
4
*
*
*
5
*
*
6
*
*
7
*
*
*
8
*
*
*
Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите номера населённых пунктов Б и Д в таблице. В ответе напишите два числа без разделителей: сначала для пункта Б, затем для пункта Д.
Миша заполнял таблицу истинности функции (x /\ ¬y)\/ (y≡ z)\/w, но успел заполнить лишь фрагменты из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
(x /\ ¬y)\/ (y ≡ z)\/w
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв A, B, C, D, E, F, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы A использовали кодовое слово 00; для буквы B– кодовое слово 01. Какова наименьшая возможная сумма длин кодовых слов для букв C, D, E, F?
Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.
На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число следующим образом.
1) Строится двоичная запись числа N.
2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: если N чётное, в конец числа (справа) дописываются два нуля, в противном случае справа дописываются две единицы. Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 100111.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью числа – результата работы данного алгоритма.
Укажите максимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет меньше 140. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.
