OpenFIPI 2.0

Сколько существует десятичных пятизначных чисел, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

Автоматическая камера производит растровые изображения размером 600×1024 пикселей. Для кодирования цвета каждого пикселя используется одинаковое количество бит, коды пикселей записываются в файл один за другим без промежутков. Объём файла с изображением не может превышать 200 Кбайт без учёта размера заголовка файла. Какое максимальное количество цветов можно использовать в палитре?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана  пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией.  Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары  по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (7, 20), то после его хода будет  позиция  (27, 20) или
(7, 27).

Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится
не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
т.е. первым получивший такую пару, в которой сумма её чисел стала
не менее 29.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (5, 15) и заданной сумме 29 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму первое число пары
и получить пару (20, 15), сумма элементов которой больше 29.

Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (10, S). Укажите максимальное значение S, такое, что Петя не может выиграть одним своим ходом.

Задание 2. Для начальной позиции (5, 8) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.

Задание 3. Для начальной позиции (2, 3) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).

В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.

Значение арифметического выражения: 16¹⁸ × 4¹⁰ – 4⁶ – 16 – записали
в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(x·y > A) \/ (x > y) \/ (8 ≥ x)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 26.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 26 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 25.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а)    Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть за один ход.

б)    Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполнены два условия:

 Петя не может выиграть за один ход;

 Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

 у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

 у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть
первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы).

В узлах дерева указывайте позиции, на рёбрах рекомендуется указывать ходы. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.

Значение арифметического выражения: 25¹² + 5³⁶ – 25 – записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр 4 содержится в этой записи?

При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 10 символов. В качестве символов используют прописные буквы латинского алфавита, т.е. 26 различных символов. В базе данных для хранения каждого пароля отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое число байт; это число одно и то же для всех пользователей.

Для хранения данных о 100 пользователях потребовалось 2200 байт. Сколько байт выделено для хранения дополнительных данных об одном пользователе? В ответе запишите только целое число  количество байт.

На рисунке схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о протяжённости каждой из этих дорог (в километрах).

Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите, какова протяжённость дороги
из пункта Г в пункт Ж. В ответе запишите целое число  так, как оно указано в таблице.

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(x > A) \/ (y > x) \/ (x + 2y < 110)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?