Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Дан набор слов, составленных из букв русского алфавита, при этом ни одно из заданных слов не является началом другого. Слова в этой игре – это просто цепочки букв, они не обязаны быть осмысленными словами русского языка. Игра состоит в том, что игроки составляют слово из набора, приписывая по очереди буквы к концу составляемого слова, т.е. справа. При этом каждое промежуточное слово должно быть началом одного из заданных слов. Выигрывает тот, кто получит одно из заданных слов целиком. Первый ход делает Петя, т.е. Петя пишет первую букву составляемого слова.
Первым ходом Петя пишет Б (он мог написать Б или А).
Ваня в ответ дописывает А и получает БА (он мог ещё получить ББ).
Вторым ходом Петя получает БАР и выигрывает.
В заданиях используются следующие понятия. Стратегия игрока – это правило, указывающее игроку ход, который он должен сделать. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Стратегия игрока называется выигрышной, если игрок выигрывает в любой партии, разыгранной в соответствии с этой стратегией, как бы ни играл противник.
Множество всех партий, которые могут получиться при данной стратегии, представляется в виде дерева, это дерево называется деревом всех партий для заданной стратегии. В узлах дерева – позиции игры; на рёбрах – ходы, которые переводят одну позицию в другую; корень дерева – начальная позиция игры. Дерево всех партий для данной стратегии можно описать с помощью рисунка или таблицы.
Задание 1. а) Укажите, у кого есть выигрышная стратегия при исходном наборе слов {АБВГДАБВГДХ, ДГВБАДГВБА}. Опишите эту стратегию. Сколько различных партий возможно при этой стратегии? Для каждой возможной партии укажите, какое слово будет написано в конце партии.
б) Укажите, у кого есть выигрышная стратегия при исходном наборе слов {ТРИТРИ…ТРИ, РИТАРИТА…РИТА} (в первом слове ТРИ повторено 33 раза, т.е. его длина 99 букв; во втором слове РИТА повторено 44 раза, т.е. его длина 176 букв). Опишите эту стратегию.
Задание 2. В задании 1а поменяйте местами две буквы в более коротком слове так, чтобы теперь выигрышная стратегия была у другого игрока. Напишите полученный набор слов; опишите выигрышную стратегию. Сколько различных партий возможно при этой стратегии? Для каждой возможной партии укажите, какое слово будет написано в конце партии.
Задание 3. Рассмотрим набор слов {ГОЛОВА, ГОРА, ГОРОД, ТРАВА, ТРАССА, ТРАНСПОРТ}. У кого из игроков есть выигрышная стратегия для этого набора? Приведите в виде рисунка или таблицы дерево всех партий, возможных при этой стратегии.
На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о протяжённости каждой из этих дорог (в километрах).
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П1
15
15
9
7
П2
15
П3
15
12
20
П4
9
12
14
10
П5
7
П6
14
П7
20
10
Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите, какова протяжённость дороги из пункта А в пункт В. В ответе запишите целое число – так, как оно указано в таблице.
Исполнитель К17 преобразует число, записанное на экране.
У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1.Прибавить 1
2.Прибавить 2
3.Умножить на 2
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает на 2.
Программа для исполнителя К17 – это последовательность команд.
Сколько существует таких программ, которые преобразуют исходное число 4 в число 14 и при этом траектория вычислений программы содержит числа 10 и 12? Траектория должна содержать оба указанных числа.
Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 18.
На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о протяжённости каждой из этих дорог (в километрах).
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П1
15
11
П2
9
П3
15
10
16
П4
13
П5
12
П6
11
9
10
9
П7
16
13
12
9
Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите, какова протяжённость дороги из пункта А в пункт Г. В ответе запишите целое число – так, как оно указано в таблице.
Логическая функция F задаётся выражением ¬x \/ y \/ (¬z /\ w).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x,y,z.
Переменная 1
Переменная 2
Переменная 3
Переменная 4
Функция
???
???
???
???
F
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
В ответе напишите буквы w, x, y,z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x \/y,зависящим от двух переменных: x иy, и был приведён фрагмент её таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых функция истинна.
Переменная 1
Переменная 2
Функция
???
???
F
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y,а второму столбцу – переменная x.В ответе следовало бы написать: yx.
Исполнитель М17 преобразует число, записанное на экране.
У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1.Прибавить 1
2.Прибавить 2
3.Умножить на 3
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает на 3.
Программа для исполнителя М17 – это последовательность команд.
Сколько существует таких программ, которые преобразуют исходное число 3 в число 13 и при этом траектория вычислений программы содержит числа 9 и 11? Траектория должна содержать оба указанных числа.
Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 24, 26.
Логическая функция F задаётся выражением ¬x \/ y \/ (¬z /\ w).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x,y,z.
Переменная 1
Переменная 2
Переменная 3
Переменная 4
Функция
???
???
???
???
F
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
В ответе напишите буквы w, x, y,z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x \/y,зависящим от двух переменных: x иy, и был приведён фрагмент её таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых функция истинна.
Переменная 1
Переменная 2
Функция
???
???
F
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y,а второму столбцу – переменная x.В ответе следовало бы написать: yx.
По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только десять букв: А, Б, Е, И, К, Л, Р, С, Т, У; для передачи используется неравномерный двоичный код. Для девяти букв используются кодовые слова.
Буква
Кодовое слово
Буква
Кодовое слово
А
00
Л
1001
Б
1000
Р
1110
Е
010
С
1010
И
011
Т
1111
К
1011
У
Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы У, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.
Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.
По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только десять букв: А, Б, Е, И, К, Л, Р, С, Т, У; для передачи используется неравномерный двоичный код. Для девяти букв используются кодовые слова.
Буква
Кодовое слово
Буква
Кодовое слово
А
00
Л
1101
Б
Р
1010
Е
010
С
1110
И
011
Т
1011
К
1111
У
100
Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Б, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.
Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.
