OpenFIPI 2.0

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 17, 18 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 60.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 60 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 59.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2

Укажите четыре таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

-       Петя не может выиграть за один ход;

-       Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

-       у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

-       у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте количество камней, на рёбрах рекомендуется указывать ходы.

Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.

Все 3-буквенные слова, составленные из букв У, Ч, Е, Н, И, К, записаны
в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1.

Ниже приведено начало списка.

1.  ЕЕЕ

2.  ЕЕИ

3.  ЕЕК

4.  ЕЕН

5.  ЕЕУ

6.  ЕЕЧ

7.  ЕИЕ

…

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы Н?

Все 4-буквенные слова, составленные из букв М, А, Р, Т, записаны
в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1.

Ниже приведено начало списка.

1.  АААА

2.  АААМ

3.  АААР

4.  АААТ

5.  ААМА

…

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы Т?

По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только десять букв: А, Б, Е, И, К, Л, Р, С, Т, У; для передачи используется неравномерный двоичный код. Для девяти букв используются кодовые слова.

Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы У, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

Исполнитель К17 преобразует число, записанное на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1.    Прибавить 1

2.    Прибавить 2

3.    Умножить на 2

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает на 2.

Программа для исполнителя К17  это последовательность команд.

Сколько существует таких программ, которые преобразуют исходное число 3 в число 13 и при этом траектория вычислений программы содержит числа 9
и 11? Траектория должна содержать оба указанных числа.

Траектория вычислений программы  это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 18.

При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 10 символов. В качестве символов используют прописные буквы латинского алфавита, т.е. 26 различных символов. В базе данных для хранения каждого пароля отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым
и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое число байт; это число одно и то же для всех пользователей.

Для хранения данных о 50 пользователях потребовалось 1100 байт. Сколько байт выделено для хранения дополнительных данных об одном пользователе? В ответе запишите только целое число  количество байт.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [117; 158] и Q = [129; 180]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

(x  P) → (((x  Q) /\ ¬(x  A)) → ¬(x  P))

истинна, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Исполнитель К17 преобразует число, записанное на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1.    Прибавить 1

2.    Прибавить 2

3.    Умножить на 2

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает на 2.

Программа для исполнителя К17  это последовательность команд.

Сколько существует таких программ, которые преобразуют исходное число 4 в число 13 и при этом траектория вычислений программы содержит числа 10 и 12? Траектория должна содержать оба указанных числа.

Траектория вычислений программы  это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 18.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1)    Строится двоичная запись числа N.

2)    К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи числа N, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия  справа дописывается остаток от деления суммы её цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, которое превышает число 63 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Значение арифметического выражения: 49¹⁶ + 7⁴⁸ – 49 – записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?